Вопрос логарифмической логики музыки
Некоторые картинки действительно стоят тысячи слов, а другие вызывают только недоумение. Именно так произошло с обложкой недавно приобретённой книги под названием Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music:
Эта книга была опубликована обществом Oughtred, организацией, названной в честь Уильяма Oughtred — англиканского священника и математика, которому приписывают изобретение первой логарифмической линейки около 1622 года. Общество Oughtred было основано в 1991 году и «посвящено сохранению и истории логарифмических линеек и других вычислительных инструментов». На их сайте содержится множество полезной информации по этому предмету.
Хотя на сайте общества Oughtred ещё есть страница, посвящённая этой книге, они, похоже, в настоящий момент её не продают, и второе издание недоступно напрямую через общество.
Эта обложка показалась интересной, потому что логарифмы задействованы как в восприятии музыкального звука, так и в конструкции логарифмической линейки. Как обсуждается в веб-книге (всё ещё в работе) The Lost Art of Logarithms, логарифмы и логарифмическая линейка были изначально изобретены для облегчения утомительных операций умножения и других математических задач, но остаются жизненно важными по многим причинам, включая понимание нашего восприятия окружающего мира.
Однако иллюстрация на обложке подразумевает прямое соответствие между расстояниями между делениями на логарифмической линейке и неравномерным расположением ладов на гитаре. Больше того — она предполагает, что гитарные лады расположены таким образом, чтобы их можно было использовать для умножения точно так же, как логарифмическую линейку. Иначе зачем книга называется Calculating with Tones?
Иллюстрация воспроизведена на странице 34 книги с подписью, описывающей обе части графики:
Guitar: Frets are positioned on the neck of the guitar to help locate the individual notes. The distance from one to the next becomes shorter as the frets get closer to the lower bridge. The reduction is logarithmic.
Slide Rule: The scale on the slide rule corresponds to a logarithmic function. When using the slide rule, one carries out multiplication by adding distances. The progressive decrease in distance between marks on the slide rule corresponds to the same thing on the neck of the guitar.
Несмотря на убедительность этой иллюстрации и описания, что-то казалось неправильным. Интуитивно это ощущалось как фундаментальная ошибка, но невозможно было указать точно на какую именно.
Умножение с помощью гитарных ладов
Первым делом нужна была гитара:
Если экран недостаточно широк для отображения полной гитары, её можно перемещать горизонтально.
Если эта гитара действительно способна умножать числа, ей нужны цифровые обозначения. Строка гитары натянута между порогом (nut) слева и нижним порогом (saddle) справа. Эти крепления удерживают струны на месте и определяют их эффективную длину при игре без нажатия на лады. Ровно посередине между порогом и нижним порогом находится 12-й лад, который фактически делит струну пополам, производя звук на октаву выше открытой струны.
На иллюстрации с обложки порог выравнен с цифрой 1 на критически важных шкалах C и D логарифмической линейки, а 12-й лад выравнен с цифрой 2. Перенесём эти числа на гитару:
Между этими двумя точками находятся 11 ладов, которые, очевидно, должны быть обозначены как дроби от 12 между 1 и 2:
Многие из этих дробей можно выразить в сокращённом виде:
Следующий шаг — распилить гитару пополам:
Извините, но это необходимо. Нужен чистый разрез сверху вниз.
Теперь две половинки можно собрать вместе, но с возможностью скользить одну часть относительно другой:
Потяните верхнюю половинку гитары вправо, чтобы умножить два числа.
Например, нужно умножить 7/6 на 3/2. Сдвиньте верхнюю половинку так, чтобы 1 сверху совпал с 7/6 снизу:
Теперь найдите 3/2 на верхней половинке. Напротив неё снизу — произведение: 7/4, что действительно равно 7/6 × 3/2.
Для большинства других комбинаций требуется интерполяция между ладами, что не всегда просто — особенно потому, что лады обозначены дробями, а не десятичными дробями. Но некоторые комбинации работают хорошо: 5/4 × 4/3 = 5/3 и 4/3 × 3/2 = 2.
На первый взгляд, этот эксперимент кажется успехом: гитарные лады определённо могут умножать!
Нет, гитарные лады не могут умножать
Готовы ли вы к тому, что это торжество будет жестоко поколеблено?
Большинство акустических гитар имеют 18 или 19 ладов, поэтому экспериментировать с умножением через лады можно разве что до произведений из 2. А электрические гитары часто имеют больше ладов — иногда до 24, что позволяет охватить двухоктавный диапазон.
На сайте производителя музыкальных инструментов Donner найдена хорошая изображение двухоктавной электрогитары. Это недорогая Donner DMT-100:
Обратите внимание на две пары двойных точек на грифе. Они отмечают лад для октавы и лад для двух октав. Лад для октавы фактически делит струну пополам, а лад для двух октав делит оставшуюся длину пополам снова.
Лады можно обозначить аналогично акустической гитаре, но как обозначить лад для двух октав?
На иллюстрации обложки Calculating with Tones порог выравнен с 1 на шкалах C и D логарифмической линейки, 12-й лад — с 2, но нижний порог — с 4:
Хотя соответствие между ладами гитары и логарифмической линейкой хорошо работает в первой октаве, 24-й лад находится ровно посередине между 12-м ладом и нижним порогом, но примерно соответствует 2,8 на логарифмической линейке. Что это означает? И что означает, что 4 на логарифмической линейке соответствует нижнему порогу гитары? Логарифмическая линейка продолжается с 5, 6 и так далее до 10, но гитарные лады не могут выходить за пределы нижнего порога.
Несмотря на сомнения, пришлось обозначить лады электрогитары вплоть до 3:
Теперь время распилить эту гитару пополам:
Не грустите. Это работа гитары.
Две половинки можно собрать снова для ещё одного инструмента умножения на основе ладов:
Сдвиньте верхнюю половинку вправо, чтобы умножить. Теперь легко найти пары чисел, которые не работают правильно. Например, умножение 3/2 на 2, которое должно равняться 3:
Когда 1 на верхней половинке совпадает с 3/2 снизу, 2 сверху находится на некоторое расстояние за пределами 3 снизу.
Почему инструмент умножения на основе ладов работает для одной октавы, но не для двух?
Этот вопрос требует более глубокого изучения.
Как работает настоящая логарифмическая линейка (кратко)
Получается, что гитарные лады частично имитируют логарифмическую линейку, но не совсем точно.
Логарифмы были изобретены для упрощения умножения многозначных чисел. Сегодня логарифмы понимаются как обратная операция возведения в степень. Если
y = 10x
то десятичный (с основанием 10) логарифм y определяется так:
log(y) = x
Хорошо известно, что если две степени 10 перемножаются, то показатели степеней складываются:
10N × 10M = 10N+M
Затем можно показать (как подробно демонстрируется в главе 3 The Lost Art of Logarithms), что сумма логарифмов двух чисел равна логарифму произведения этих чисел:
log(N × M) = log(N) + log(M)
Логарифмическая линейка фактически реализует эту операцию с помощью пары скользящих линеек. Как эти линейки конструируются — предмет глав 6 и 7 The Lost Art of Logarithms.
Вот как начинается построение 10-дюймовой логарифмической шкалы. Каждое число на шкале позиционируется исходя из общей длины шкалы (10 дюймов в этом случае), умноженной на десятичный логарифм числа. Шкала начинается с 1, потому что логарифм 1 равен нулю:
Если эта линейка слишком широкая для страницы браузера, её можно прокручивать горизонтально.
В старые времена эти логарифмы получали из книги. Можно также использовать калькулятор. Большинство компьютерных калькуляторов нужно переключить в режим Scientific, чтобы получить доступ к кнопке log. Калькуляторы на телефонах часто нужно повернуть боком.
Можно продолжить с некоторыми дробными числами:
В конце концов получится что-то вроде этого:
Расстояние каждого деления от начала логарифмической шкалы равно 10 дюймов, умноженным на логарифм числа, которое это деление представляет.
Поместите две такие логарифмические линейки лицом друг к другу (как сделал Уильям Oughtred в 1622 году), и получится логарифмическая линейка:
Добавлена также удобная волосяная линия, которую можно перемещать синим кружком. Линейка инициализирована для демонстрации умножения 1,56 на 2,72, но можно передвигать верхнюю линейку и синий кружок для экспериментов с другими умножениями. Нужно выравнять 1 на верхней шкале с первым числом на нижней шкале. Затем выравнить волосяную линию со вторым числом на верхней шкале. Волосяная линия показывает произведение на нижней шкале — в этом случае 4,24.
Но её универсальность намного больше простого умножения малых чисел. Умножение 1,56 на 2,72 по сути то же самое, что умножение 15 600 на 27,2, или 0,0156 на 0,000272. Разница только в позиции десятичной точки в результате.
Если не получается умножить два числа сдвигом верхней шкалы вправо, сдвиньте её влево. Выровняйте 10 на верхней шкале с первым числом на нижней. Вот 8 на 7:
В этом случае нужно сдвинуть десятичную точку вправо, чтобы получить произведение 56.
Логарифмическую линейку можно также использовать для деления: выровняйте делимое на нижней шкале с делителем на верхней. Частное — на нижней шкале, выровненное с началом или концом верхней шкалы.
Никакой магии здесь нет. Вы просто складываете или вычитаете длины линеек. Но поскольку числа на линейках — это логарифмы, числа фактически перемножаются. Вот небольшая демонстрация, показывающая длины линеек с теми же двумя числами, что и в первом примере:
Для каждой позиции верхней шкалы и волосяной линии видно, что две ширины сверху складываются в ширину снизу. Но эти ширины соответствуют логарифмам чисел на шкале, так что числа фактически перемножаются.
Расположены ли гитарные лады аналогично? И можно ли эти позиции квантифицировать аналогичным образом, чтобы раскрыть, почему они иногда умножают, а иногда нет?
Наше логарифмическое восприятие высоты звука
Может показаться разумным, что гитарные лады расположены логарифмически, потому что наше восприятие музыкальной высоты звука логарифмично.
Что это означает?
Звук — это вибрация. Частота вибрации — сколько раз вибрирующий объект колеблется туда-сюда в секунду — указывается в герцах (сокращённо Гц), названных в честь Генриха Рудольфа Герца, первого человека, доказавшего существование электромагнитных волн. (До принятия герца в 1960-х годах скорость вибрации указывалась в понятных единицах циклы в секунду или cps.)
Люди обычно слышат звуки с частотами между 20 Гц и 20 000 Гц, но это варьируется в зависимости от человека и возраста. С возрастом наша способность слышать высокие частоты часто ухудшается.
Однако мы не воспринимаем эти частоты линейно. Другими словами, мы не воспринимаем разницу между 1000 Гц и 2000 Гц как то же самое, что разница между 2000 и 3000 Гц. Вместо этого мы воспринимаем разницу между 1000 и 2000 Гц как то же самое, что разница между 2000 и 4000 Гц.
Это удвоение частоты воспринимается как изменение высоты звука, называемое октавой, которое составляет основу музыки во всём мире. Для легкого понимания спойте первые две ноты куплета «Somewhere over the rainbow». Это скачок на октаву. Поёт ли песню Björk или Barry White, частота удваивается от "some" к "where".
Как подробно обсуждается в ещё не закончившейся главе 13 The Lost Art of Logarithms, музыка в западной традиции развивалась так, чтобы иметь 12 шагов в октаве. Обозначенные клавиши этого пианино иллюстрируют прогрессию октав в большей части диапазона пианино:
Каждая пара последовательных обозначенных клавиш — удвоение частоты и, следовательно, интервал в октаву. Средняя До — клавиша с крошечной точкой, и все обозначенные клавиши — ля. Используется ля, потому что стандартная настройка устанавливает ля выше средней До на 440 Гц. Частоты всех остальных ля можно вычислить, прогрессивно удваивая или разделяя пополам 440. Эти различные ля можно дифференцировать так называемыми научными названиями высоты звука, используя нижний индекс для октавы. Эти восемь обозначенных клавиш обозначены как A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 и A7.
Каждый из 12 шагов в октаве известен как полутон.
И да, эти слова не имеют смысла. Слово «октава» похоже подразумевает восемь чего-то, а слово «полутон» похоже намекает на половину чего-то. Большая часть этой терминологии возникла много веков назад и имела смысл в то время, но сегодня мы просто застряли с ней.
На протяжении многих веков развивались различные способы настройки этих 12 нот в октаве. (Опять же, глава 13 The Lost Art of Logarithms содержит намного больше деталей.) Но начиная с конца XVI века некоторые музыканты и теоретики начали выступать за то, чтобы каждый шаг полутона был одинаковым. Это тип настройки, известный как равномерная темперация, и он доминирует в западной музыке сегодня, хотя не без некоторого несогласия.
Что означает, что есть 12 равномерных полутонов между 220 и 440 Гц, а также между 440 и 880 Гц? Это означает, что полутон не может быть фиксированным числом герц, а должен быть вместо этого умножением. Полутон должен быть числом, которое при умножении на себя 12 раз равняется 2, удвоению частоты, связанному с октавой. Это число часто выражается как двенадцатый корень из 2:
Множитель полутона = 12√2
или как 2 в степени 1/12:
Множитель полутона = 21/12
Для нас сегодня легко вычислить это число. Вообще нет, что легко — это просто ввести это выражение в калькулятор. Например, в калькуляторе Windows для этого нужно переключиться в режим Scientific, затем нажать 2, клавишу xy, левую скобку, клавишу 1, клавишу деления (÷), затем 12, правую скобку и клавишу равно (=).
Двенадцатый корень из 2 — иррациональное число; точного значения нет. Калькулятор может дать только приблизительное значение, которое здесь я приблизил ещё больше:
Множитель полутона = 12√2 ≅ 1,059463...
Если умножить это число на себя 12 раз, получится результат примерно 2. Для простоты можно использовать 1,059 или даже 1,06 как совсем грубое приближение.
Предположим, пронумеровать все чёрные и белые клавиши пианино слева направо, начиная с 1 (нота A0) и заканчивая 88 (нота C8). Нота A4 имеет номер клавиши 49 и при обычной настройке пианино — частоту 440 Гц. Начиная с этой точки, можно вычислить частоту любой клавиши пианино, используя эту формулу:
частота = 440 × 2(номер клавиши − 49)/12
Или можно пойти в другую сторону, выразив эту связь с логарифмом. Но поскольку мы имеем дело со степенями 2, это должен быть двоичный (с основанием 2) логарифм:
номер клавиши = 49 + 12 × log2(частота/440)
Эти два утверждения эквивалентны.
Мы воспринимаем 88 клавиш пианино как равные шаги в высоте звука. Но эти номера клавиш — логарифмы частоты. Это то, что я имею в виду, утверждая, что наше восприятие высоты звука логарифмично.
Частота и длина струны
Пианино, арфа, скрипка и гитара — все издают звуки с помощью вибрирующих струн. Частота вибрирующей струны зависит от четырёх факторов:
- материала, из которого она сделана,
- её толщины,
- натяжения,
- её длины.
Музыкальные инструменты часто содержат струны из различных материалов, толщин и длин, и струны настраиваются путём изменения натяжения. Но как только конкретная струна настроена, всё остаётся постоянным, кроме (потенциально) её длины.
Это определённо верно для гитары. Для любой конкретной струны частота полностью управляется длиной той части струны, которая вибрирует, что зависит от того, на какой лад была нажата струна. (Ну, это не совсем верно. Натяжение струны немного увеличивается при нажатии на лад, но давайте попытаемся сохранить здравый смысл, игнорируя это.)
К счастью, связь между частотой вибрирующей струны и её длиной очень проста: они обратно пропорциональны. Чем длиннее струна, тем ниже частота. Разделите длину пополам, и частота удвоится, что даёт скачок на одну октаву.
Настройка гитарных ладов
Гитарные лады должны быть расположены таким образом, чтобы каждый последующий лад увеличивал частоту струны в 1,059 раз. Поскольку частота обратно пропорциональна длине, каждый лад должен эффективно уменьшать длину струны на величину, обратную множителю полутона. Один способ выразить это — как (1/2) в степени 1/12:
коэффициент сокращения строки = (1/2)1/12 ≅ 0,943874...
Буду использовать грубое приближение 0,944, чтобы упростить эти примеры. Кроме того, предположим, что длина гитарной струны от порога до нижнего порога составляет 100 сантиметров:
Первый лад должен быть в 0,944 раза больше этой длины, или 94,4 сантиметра от нижнего порога и, следовательно, 5,6 сантиметра от порога:
Второй лад становится сложнее. Его нужно позиционировать так, чтобы струна имела эффективную длину 94,4 раза 0,944, или 89,1 сантиметра.
Можно также вычислить 89,1 сантиметра, умножив 100 сантиметров на 0,944 в квадрате. Этот второй лад находится в 10,9 сантиметра от порога, или 5,3 сантиметра ниже первого лада. Расстояние между ладами уже уменьшается.
Этот процесс продолжается. Каждый лад должен уменьшать длину струны до 0,944 раза длины, связанной с предыдущим ладом:
Эта длина 84,1 — это 100 раз 0,944 в кубе. И снова:
Пространство между ладами продолжает прогрессивно уменьшаться. Расстояние от 4-го лада к 5-му — 4,7 сантиметра.
В конце концов доходим до 12-го лада, который уменьшает струну до половины её первоначальной длины:
Двенадцатый лад позиционируется в 100 сантиметров раз 0,944 в двенадцатой степени, или 50 сантиметров от нижнего порога, эффективно уменьшая струну до половины её длины.
Можно увеличить диапазон гитары ещё на одну октаву с помощью ещё 12 ладов.
24-й лад снова делит струну пополам.
Длину струны от лада к нижнему порогу можно вычислить так:
длина строки от лада = длина строки × (1/2)номер лада/12
Расстояние любого лада от порога можно вычислить так:
расстояние лада от порога = длина строки × (1 − (1/2)номер лада/12)
Порог считается имеющим номер лада 0, поэтому расстояние лада для порога также 0. 12-й лад имеет номер лада 12, поэтому расстояние лада составляет половину длины струны.
Построение слайдера на основе ладов
Заметим, что при разработке формулы для вычисления позиций ладов логарифмы не использовались. Тем не менее, теперь, когда у нас есть такая формула, я могу создать свою собственную логарифмическую линейку на основе ладов без распиливания дополнительных гитар. Я установил в начале, что только первая октава ладов функционирует как обычная логарифмическая линейка. Включение второй октавы ладов нарушает всё.
Итак, возьмём первую октаву ладов и обозначим её точно так же, как я обозначил акустическую гитару с дробями между 1 и 2:
Теперь создадим ещё один линейку тем же способом, но с делениями сверху вместо снизу:
Эти две линейки можно положить вместе и перемещать верхнюю линейку относительно нижней:
Можно попробовать несколько умножений, не требующих интерполяции, такие как 7/6 раз 3/2 или 5/4 раз 4/3, и сейчас можно заметить, что это не совсем точно. Деления не совпадают точно. Это было бы допустимо при неловком манипулировании двумя половинками распиленной гитары, но если бы гитарные лады были расположены логарифмически, этого бы не произошло.
Не могу сделать эти линейки длиннее, включив вторую октаву гитарных ладов. Уже известно, что это катастрофа. Однако логарифмические логарифмические линейки самоподобны. Часть логарифмической линейки от 2 к 4 — это то же самое, что от 4 к 8, кроме того, что нумерация удвоена:
Можно даже поднять шкалы до 10:
Попробуйте 5/2 раз 8/3, что должно быть 20/3, но просто не совпадает правильно.
Итак, это реально или фантазия?
История двух линеек
Раздражает, что логарифмическая линейка, сконструированная из математики гитарных ладов, работает почти так же хорошо, как логарифмическая линейка, сконструированная из логарифмов, но не совсем точно.
Следующая графика не логарифмическая линейка. Она не интерактивна. Не пытайтесь ничего сдвигать. Верхняя шкала построена на основе формулы для позиционирования гитарных ладов, а нижняя — из логарифмов:
Растянул это так, чтобы можно было сразу увидеть, что это две разные шкалы, которые совпадают только на 1 и 2.
Также показательно построить график двух функций за пределами диапазона этих шкал. Ранее показывалась формула для расчёта расстояния каждого лада от порога:
расстояние лада от порога = длина строки × (1 − (1/2)номер лада/12)
Хочу адаптировать эту формулу для логарифмической линейки: расстояние каждого деления основано на числе, связанном с этим делением. Это число n связано с номером лада вот так:
n = 1 + номер лада/12
Или:
номер лада = 12 × (n − 1)
Также, поскольку шкала от 1 к 2 составляет половину длины строки, давайте также нормализуем длину строки до 2, так чтобы формула для позиционирования деления становится:
расстояние деления = 2 − (1/2)n − 2
Это красная линия на графике. Когда n равно 1 (начало шкалы), расстояние деления равно 0; когда n равно 2 в конце шкалы, расстояние деления равно 1.
Расстояние деления в логарифмической шкале от 1 к 2 просто:
расстояние деления = log2(n)
Это синяя линия на графике. Опять же, когда n равно 1 в начале шкалы, расстояние деления равно 0, и когда n равно 2, расстояние деления равно 1.
Хотя красная и синяя линии кажутся совпадающими между n, равным 1 и 2, это определённо не эквивалентные функции!
Вот что произошло: обманутый жестоко обманчивой иллюстрацией на обложке Calculating with Tones, я извратил свою первоначальную маркировку гитарных ладов в диапазон от 1 к 2. Это подразумевало определённую функцию, которая, конечно, совпадала в этих двух точках с логарифмом, но в остальном была совсем другой. Остальное в основном совпадение.
Одна из тем The Lost Art of Logarithms заключается в том, что многие явления в нашем природном и искусственном мире можно интерпретировать логарифмически. Это включает музыку, но не включает гитарные лады.
Приложение: геометрический подход к позиционированию ладов
Ранее была описана теоретическая математика позиционирования ладов на гитаре. Но гитара существует сотни лет. Как люди вычисляли позиции ладов без калькуляторов и прецизионных измерительных инструментов? Например, как были позиционированы лады на гитаре в одной из последних картин Йоханнеса Вермеера The Guitar Player, датируемой 1672 годом?
Один популярный подход заключался в использовании простого коэффициента из книги, опубликованной во Флоренции в 1581 году, под названием Dialogo della musica antica et della moderna или «Диалог древней и современной музыки».
Автором был Винченцо Галилей, родившийся близ Флоренции вероятно где-то в 1520-х годах. Он изучал лютню в молодом возрасте и стал певцом, учителем и композитором. Часть его музыки была записана: альбом The Well-Tempered Lute содержит подборку его композиций. Изучал теорию музыки у Джозеффо Zarlino, а затем опровергал некоторые теории Zarlino. Его старший сын, Галилей, который был около 17 лет, когда его отец опубликовал Dialogo, позже добился известности в области астрономии и натурфилософии, и также писал о теории музыки в своём Two New Sciences 1638 года.
В Internet Archive находится оригинальное издание 1581 года Dialogo папы Галилея; в International Music Score Library Project (IMSLP) есть переиздание 1967 года, и в цифровой библиотеке Техасского университета Северного Техаса есть докторская диссертация Роберта Х. Хермана с полным английским переводом и множеством комментариев.
Вот где Галилей обсуждает, как вычислить позиции ладов для лютни:
I therefore divide the whole line A B into eighteen parts, and toward the high part (moving away from the low part) where that first part ends, I place the first fret. I divide once more the whole remainder of the same number of parts [i.e. eighteen] and from the very same band, I place the first fret under the second. I now proceed to distribute the space which remains beneath the frets, always in that very same order, up to [the number of] twelve, which brings me exactly to [the point] where half of the entire string terminates. (pp. 299–300, bracketed phrases added by translator; corresponds to page 49 in the original Italian edition)
Винченцо Галилей предлагает коэффициент 18:17 для позиционирования ладов. Это подразумевает, что множитель полутона приблизительно равен:
Множитель полутона = 18/17 ≅ 1,058824...
Если умножить 18/17 на себя 12 раз, не получится 2. Вместо этого получится 1,985560, что довольно близко.
Аналогично, коэффициент сокращения строки для вычисления позиции ладов:
Коэффициент сокращения строки = 17/18 = 0,944444...
Если взять этот коэффициент в 12-й степени, получится чуть больше 1/2:
(17/18)12 ≅ 0,50364...
Но преимущество 17/18 в том, что это коэффициент, а коэффициенты чрезвычайно полезны.
Если изучить любой трактат по теории музыки от древних греков до эпохи Возрождения, можно увидеть много геометрических чертежей. При смешивании арифметики и геометрии коэффициенты идеальны, потому что не нужно ничего измерять или иметь дело с дробями. Всё геометрическое.
Винченцо Галилей не очень хорошо объясняет, как на практике используется коэффициент 18:17, но легко разработать метод. Предположим, строишь лютню или гитару, или, возможно, получил безладовую гитару, к которой хочешь добавить лады.
Первый шаг — получить большой лист бумаги и начертить отрезок, соответствующий расстоянию между порогом и нижним порогом:
Назовём это струнной линией. Отложим гитару в сторону и начертим длинную горизонтальную линию, перпендикулярную струнной линии и выровненную с её нижней частью:
Где-то вдоль этой горизонтальной линии начертим ещё одну более короткую вертикальную линию:
На этой более короткой вертикальной линии, работая снизу вверх, начертим 18 равномерно расположенных горизонтальных делений:
Это можно сделать с помощью традиционных геометрических инструментов — циркуля и линейки. Расстояние между этими горизонтальными делениями не имеет значения, главное, чтобы они были равномерно расположены. Если не хотим усложнять, можно даже использовать 18-дюймовую линейку для обозначения этой линии.
Теперь начертим прямую линию от верхней части струнной линии к верхнему делению более короткой вертикальной линии и продолжим вниз к основанию:
Сделал маленькую точку, где она пересекает это нижнее горизонтальное. От этой точки начертим ещё одну диагональ, проходящую через второе деление и пересекающую струнную линию:
Теперь избавимся от той более короткой вертикальной линии с делениями. Она больше не нужна:
Утверждаю, что любая вертикальная линия, проведённая от верхней диагонали к основанию, будет разделена на две части: верхняя часть (между двумя диагоналями) составляет 1/18 общей длины. Нижняя часть (под нижней диагональю) составляет 17/18 общей длины.
Струнная линия — это одна такая вертикальная линия. Две диагонали делят эту струнную линию на 1/18 между двумя диагоналями и 17/18 под нижней диагональю. Первый лад расположен там, где нижняя диагональ пересекает струну:
Чтобы определить, где расположен второй лад, сначала расширим горизонтальную линию от лада к верхней диагонали. Здесь показано пунктирной линией:
Можем представить себе вертикальную линию, проведённую от точки, где пунктирная линия встречается с верхней диагональю, вниз к основанию. Эта линия также разделена на две части. Начертим только часть этой вертикальной линии вниз ко второй диагонали. Это также пунктирная линия:
Теперь начертим горизонтальную линию обратно к струнной линии:
Это позиция второго лада:
Продолжая, видим, что расстояние между ладами сокращается. Это происходит потому, что каждый последующий лад составляет 17/18 оставшейся длины струны после предыдущего лада. Вот как найти третий лад:
И вот четвёртый:
Просто продолжайте, и получите лад октавы, который я сделал чуть шире для акцента:
Продолжайте, и можете добавить ещё двенадцать ладов, завершив двухоктавным ладом:
И теперь у вас есть шаблон для установки ладов на гитаре с двухоктавным диапазоном:
Защита Винченцо Галилеем коэффициента 18:17 была очевидно весьма убедительной. В своей основной книге Tuning and Temperament: A Historical Survey (Michigan State College Press, 1951, 1952; Dover Publications, 2004) музыковед Джеймс Мюррей Barbour сообщает, что нашёл «ссылки на полутон 18:17 охватывают два с половиной века». (стр. 59) Другими словами, люди использовали этот коэффициент хорошо вплоть до XIX века. Поэтому я предполагаю, что гитара на картине Вермеера была оснащена этим методом.
Давайте посмотрим, как это работает на практике, или, по крайней мере, на виртуальной гитаре.
Вот две «гитары» с каждой из шести струн, обозначенных в верхней части их высотой. Гитара слева использует коэффициент 18:17 Винченцо Галилея для определения позиций ладов. Правая использует двенадцатый корень из 2 для расчётов.
На сенсорном экране можно щипать струну на этих двух гитарах пальцем. В противном случае нужно будет протащить указатель мыши по струне с нажатой кнопкой. Чтобы сыграть ноту, связанную с открытой струной, щипайте струну под порогом рядом с верхней частью. Для нот, требующих ладов, щипайте струну прямо под ладом.
Пара точек начерчена прямо над ладами октавы и двух октав. Эти точки встречаются на некоторых гитарах, чтобы помочь ориентации музыканта. Ползунок в нижнем левом углу — регулятор громкости.
Если у вас есть мультисенсорный дисплей, можете одновременно щипать две струны, возможно, одну и ту же струну на двух разных гитарах. В самом верху частоты будут идентичными, но по мере продвижения вниз по ладам частоты отклоняются, и можете начать слышать биения.
Вероятно, что строители гитар, которые использовали коэффициент 18:17 Винченцо Галилея, вносили тонкие корректировки в лады, чтобы реализовать чистый интервал октавы.