Введение

Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела была опубликована ещё в 1910 году — и тем не менее читается как современный текст о языках программирования. Книга оказалась настолько увлекательной, что от неё было трудно оторваться. В ней с большой проницательностью обсуждаются такие современные темы, как экстенсиональность/интенсиональность, референциальная прозрачность, тип. Возможно, здесь впервые в современном смысле встречаются термины «domain» (область определения), «alpha-renaming» (альфа-переименование) и «type» (тип). «Неполные символы» — те, что обретают смысл только в контексте, — предвосхищают продолжения (continuations) и операторы управления. Проницательно отмечается, что понятия свободной и связанной переменной, подстановки, абстракции и применения — все они пришли из лингвистики. Складывается впечатление, что Principia уже содержала в себе лямбда-исчисление. Похоже также, что Рассел и Уайтхед предвосхитили интуиционизм — например, настаивая на раздельных обозначениях для «любого» и «всех» (хотя и признавая эквивалентность этих понятий в своей теории).

Вся Principia имеет очень большой объём: книга славится тем, что на тысяче страниц доказывает, что 1+1=2. Как подчёркивается в предисловии, доказательства даются с мучительной подробностью — чтобы исключить возможность использования в доказательстве непроговорённой предпосылки. Цель Principia состояла в том, чтобы выдвинуть набор самых базовых понятий и показать, что именно их одних достаточно для построения всей математики. Будь Principia опубликована сегодня, все доказательства были бы вынесены в приложение (или в систему автоматического доказательства теорем). По-настоящему важны базовые понятия и общая структура — большая часть которых изложена в предисловии и первой главе.

Ниже приведены несколько заметок, сделанных при чтении первой главы Principia, с рядом комментариев, любезно предоставленных Жаком Каретте.

Версия

Текущая версия — 1.3, август 2026.

Источники

Alfred North Whitehead, Bertrand Russell. Principia Mathematica. Cambridge: University Press, 1910–
<http://name.umdl.umich.edu/AAT3201.0001.001>
Полный отсканированный текст, большое спасибо The University of Michigan Historical Mathematics Collection.

Linsky, Bernard. The Notation in Principia Mathematica
The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2026 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.)
<https://plato.stanford.edu/archives/sum2026/entries/pm-notation/>

Референциальная прозрачность, экстенсиональность

На странице 8 Principia, пожалуй, впервые в математической литературе упоминаются интенсии и экстенсии, а также то, что сейчас называют «референциальной прозрачностью»: «если p≡q, то f(p)≡f(q)». Здесь f(p) — это высказывание, включающее другое высказывание p. В современных терминах f назвали бы контекстом и обозначили как C[], а утверждение звучало бы так: если p≡q, то C[p]≡C[q] — знакомая формулировка референциально прозрачного контекста. Далее на странице приводится пример нереференциально прозрачного контекста — «A believes p» («А верит, что p»): высказывание, смысл которого меняется при подстановке p эквивалентными высказываниями. Пример выдаёт происхождение этого понятия — из лингвистики, а именно из работ Фреге (упомянутого в сноске). В книге утверждается, что «математика всегда имеет дело с экстенсиями, а не с интенсиями» (снова заимствуя терминологию Фреге, но в английском переводе).

Определения: всего лишь типографское удобство, но крайне важное

На странице 12 книги утверждается, что определения — не более чем типографское удобство. С другой стороны, определения крайне важны, поскольку раскрывают замысел.

…определения не являются частью нашего предмета, а строго говоря, представляют собой лишь типографские удобства… Несмотря на то, что теоретически определения избыточны, тем не менее верно, что они зачастую несут более важную информацию, чем содержится в утверждениях, где они используются… Совокупность определений воплощает наш выбор тем и наше суждение о том, что наиболее важно. Во-вторых, … определение содержит анализ общей идеи и потому может представлять собой заметный шаг вперёд.

Пропозициональные функции: предвосхищение лямбда-исчисления

На странице 15 вводятся «пропозициональные функции» — то, что сейчас известно как лямбда-термы. Достаточно взглянуть на пример, приведённый на этой странице.

«x ранен» [называемое неоднозначным] на самом деле вообще не выражает никакого утверждения, пока не определено, кто такой x. И всё же благодаря индивидуальности, сохраняемой неоднозначной переменной x, это — неоднозначный пример из совокупности высказываний, получаемых путём придания x всех возможных определённых значений в выражении «x ранен», дающих в результате высказывание, истинное или ложное.

Далее авторы вводят обозначение для этой «пропозициональной функции»: «\hat{x} ранен». Хотя «x ранен» и «y ранен», встречающиеся в одном контексте, можно различить, «"\hat{x} ранен" и "\hat{y} ранен" не несут вообще никакого различия в значении». Абзац завершается так: «В более общем виде φx есть неоднозначное значение пропозициональной функции φ\hat{x}, и когда вместо x подставляется определённое обозначение a, φa становится однозначным значением φ\hat{x}». Вот они: свободные переменные, связанные переменные, подстановка и альфа-эквивалентность.

Тема переменных вновь поднимается на странице 17 при обсуждении формул с кванторами:

Символ «(x).φx» [в современной записи ∀x.φ(x)] обозначает одно определённое высказывание, и нет различия в значении между «(x).φx» и «(y).φy», когда они встречаются в одном и том же контексте. … Символ «(x).φx» имеет некоторую аналогию с символом ∫abφ(x) dx, поскольку ни в том, ни в другом случае выражение не является функцией от x. … Переменная x, встречающаяся в «(x).φx» или «(∃x).φx», называется (вслед за Пеано) «кажущейся переменной».

Далее на странице вводится понятие области видимости переменной.

То, что Principia называет «кажущейся переменной», в современной терминологии — связанная переменная; «действительная переменная» теперь называется свободной переменной. Пример определённого интеграла для иллюстрации связанных переменных и альфа-эквивалентности поразителен. Он также показывает, что у лямбда-исчисления долгая родословная. Трудно не восхититься прозорливостью Лейбница.

«Любой» против «все»: проблеск интуиционизма

Страницы 18 и 19 Principia посвящены тому, что сейчас называют схематическими переменными и схематическими утверждениями вида ⊢ f x.

Когда мы утверждаем нечто, содержащее действительную переменную, как, например, в ⊢ x = x, мы утверждаем любое значение пропозициональной функции. Когда мы утверждаем нечто, содержащее кажущуюся переменную, как в ⊢ (x).x = x [что в современной записи есть ⊢ ∀x. x=x], мы утверждаем... все значения рассматриваемой пропозициональной функции. Очевидно, что мы можем утверждать «любое значение» только в том случае, если все значения истинны; иначе, поскольку значение переменной остаётся неопределённым, оно могло бы быть определено так, чтобы дать ложное высказывание. Так, в приведённом выше примере, поскольку у нас есть ⊢ x = x, мы можем вывести ⊢ (x).x = x.

Далее авторы вводят то, что сейчас называется обобщением, или введением квантора всеобщности (∀-введение). (На странице 20 вводится обратная операция — устранение квантора всеобщности, или, как формулирует Principia, «то, что верно для всех, верно для любого».)

Хотя схематическая формула («любой») эквивалентна соответствующей формуле с квантором всеобщности в логике Principia (которая позднее была выкристаллизована в то, что сейчас называется логикой первого порядка), авторы всё же настаивают на различении этих двух понятий.

Обычные формулы математики содержат такие утверждения [с действительной переменной]; например sin² x + cos² x = 1 не утверждает тот или иной конкретный случай формулы, и не утверждает, что формула верна для всех возможных значений x, хотя это и эквивалентно последнему утверждению; она просто утверждает, что формула верна, оставляя x полностью неопределённым; и она вправе делать это законно, потому что, как бы ни было определено x, результатом будет истинное высказывание.

Интуиционистский взгляд на существование

На странице 20, после описания введения квантора существования: ⊢ φy ⊂ (∃x).φx, Principia утверждает:

Приведённое выше высказывание даёт единственный практический способ доказательства теорем существования: нам всегда приходится находить некоторое конкретное y, для которого выполняется φy, и тем самым выводить (∃x).φx. Если бы мы приняли то, что называется мультипликативной аксиомой, или эквивалентную аксиому, сформулированную Цермело, это дало бы, в важном классе случаев, теорему существования там, где нельзя найти ни одного конкретного примера истинности.

Таким образом, для Рассела и Уайтхеда «единственный практический способ» доказательства теорем существования состоял в предъявлении свидетеля (witness). Возможно, неосознанно, они приняли интуиционистскую или даже конструктивистскую позицию. И опубликовано это было в 1910 году…

Жак Каретте отметил, что примерно в то же время публиковался и Брауэр (хотя надо признать, что работы Брауэра того периода были едва понятны математикам того времени; полемика между интуиционизмом и классической математикой по-настоящему началась с Германа Вейля). Каретте также заметил, что некоторые аспекты этого конструктивизма можно проследить вплоть до Кронекера — на 30 лет раньше.

Типы

На странице 21, после утверждения высказывания (в современной записи)

    ⊢ ∀x. φ(x) ∧ ∀x. ψ(x)   ⇒   ∀x. φ(x) ∧ ψ(x)

авторы пишут: «это требует, чтобы φ и ψ были функциями, принимающими аргументы одного и того же типа. (Мы объясним это требование на более позднем этапе)». Как современно! Это, пожалуй, первое употребление слова «тип» в том смысле, что сейчас так распространён в программировании.

Происхождение символа принадлежности множеству

На странице 26 авторы отмечают, что символ принадлежности множеству — это на самом деле греческая буква эпсилон, первая буква слова ἐστί, что, по русской аналогии, по всей видимости, означает «быть». Так, x ∈ man буквально означает «x есть человек». (Это не значит, что именно Principia первой предложила такую нотацию — она уже существовала.)

Дескриптивные функции

Страница 33, вероятно, содержит первое современное определение функции как частной формы бинарного отношения: любое бинарное отношение R порождает функцию R'y как единственный x, для которого выполняется xRy. На R при этом не накладывается никаких ограничений; однако позже вводится понятие «области определения» как класса тех y, для которых существует ровно один x, такой что выполняется xRy. Отношение «многие к одному», следовательно, определяет функцию — с пустой областью определения.

Такие функции, порождённые бинарным отношением, Principia называет «дескриптивными функциями» (сейчас их часто называют «определёнными дескрипциями»). Название и изложение следуют теории дескрипций в естественных языках, которую Рассел разработал пятью годами ранее — в своей знаменитой статье «On denoting» (Mind 14(4), 1905).

Жак Каретте отметил, что Principia предвосхитила различие между «определённой дескрипцией» и «явной функцией» ещё в 1910 году, поскольку в математике уже существовали соответствующие примеры. «Аналитическое продолжение — один из тех процессов в математике, который является функциональным, но не функцией, поскольку предполагает определённую свободу выбора».

Источники

Ludlow, Peter. Descriptions
The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2023 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.)
<https://plato.stanford.edu/archives/win2023/entries/descriptions/>