Сотрудник Anthropic поставил перед Claude заведомо непосильную задачу — попросил модель «серьёзно попробовать» доказать гипотезу Римана, одну из самых известных нерешённых проблем математики.

Попытка была предпринята всерьёз, но, как и следовало ожидать от задачи такого уровня (гипотеза Римана сформулирована в 1859 году, а за её доказательство Институт Клэя предлагает миллион долларов), успехом не увенчалась. Тем не менее в процессе работы модель неожиданно продвинулась в решении смежной задачи.

Неопубликованная исследовательская версия Claude улучшила давнюю нижнюю границу для доли нулей дзета-функции Римана, удовлетворяющих гипотезе Римана. Опираясь на обширные исследования математиков последних десятилетий, модель увеличила эту границу с 41,6% до 67,2%.

Два математика из Anthropic изучили и проверили работу Claude, а также подготовили неформальную записку для экспертов, где доказательство Claude изложено сжато. Кроме того, Claude подготовил формально верифицируемое доказательство своего результата. Брайан Конри и Дэн Голдстон, два эксперта в этой области, любезно согласились изучить работу в сжатые сроки.

Нет оснований полагать, что использованные Claude методы приведут к доказательству самой гипотезы Римана. Но этот результат — ещё один пример того, насколько быстро растут математические способности ИИ-моделей. Ниже рассказано, как Claude подошёл к задаче и что удалось найти.

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана описывает распределение простых чисел: каждая точка, где функция обращается в ноль, вносит всё более точную деталь в последовательность простых чисел. Гипотеза Римана утверждает, что все нули, определяющие расположение простых чисел, лежат на одной вертикальной прямой. Эта гипотеза стала одной из самых значимых в математике: множество результатов опираются на неё, чтобы обосновать своего рода случайность в распределении простых чисел.

Доказать или опровергнуть гипотезу Римана пока никому не удалось, но математики продвинулись во многих смежных направлениях, изучая саму дзета-функцию и её нули. Одно из таких направлений — как раз оценка минимальной доли нулей, лежащих на критической прямой: со временем эту известную константу постепенно довели до 41,6%.

Другое направление касается распределения нулей на прямой. В частности, в 1973 году Монтгомери предложил ряд новых методов в этой области, хотя они опирались на предположение об истинности гипотезы. Позднее несколько математиков (Балуйот, Голдстон, Сурияджая и Тернидж-Баттербо) опубликовали серию работ, позволяющих применять методы Монтгомери без этого предположения — а значит, использовать их для повышения нижней границы доли нулей на прямой. Результат Claude во многом опирается именно на эту линию исследований, а также на статью Бомбьери 2000 года.

Что нашёл Claude

Claude обнаружил, что сочетание результатов Балуйот, Голдстона, Сурияджая и Тернидж-Баттербо с работой Бомбьери позволяет превзойти прежний рекордный показатель нижней границы в 41,6%, подняв его до 67,2%.

Краткое техническое описание находки выглядит так: Claude строит подходящее пространство функций с квадратичной формой, индуцированной по Вейлю, и положительно- (соответственно отрицательно-) определёнными подпространствами, возникающими из нулей на прямой (соответственно вне прямой). Затем Claude выписывает неравенство для ранга квадратичной формы через информацию о первом и втором моментах. (Успешное вычисление второго момента через двойственную картину над простыми числами или через контроль преобразования Гильберта не является чем-то неожиданным в аналитической теории чисел.) Именно решимость рассмотреть всё пространство целиком — учитывая одновременно положительную и отрицательную определённость, допуская недиагональность квадратичной формы — в каком-то смысле и есть тот шаг, который позволил Claude прийти к выводу на основе важных предшествующих работ.

Полное техническое описание доступно в статье. Объяснение самого Claude о том, как он пришёл к результату, приведено в отдельном приложении.

Методология Claude

Неопубликованная исследовательская версия Claude нашла новую нижнюю границу за две сессии в Claude Code, потратив в общей сложности 31 миллион выходных токенов.

Джарред Самнер, сотрудник Anthropic (не математик), попросил Claude «серьёзно попробовать» доказать саму гипотезу, оставив все дальнейшие математические решения на усмотрение модели. Изначально Claude сгенерировал и опробовал 650 идей, ни одна из которых не сработала. После того как Джарред попросил попробовать ещё раз, модель потратила полтора дня, координируя около 60 субагентов Claude, которые на этот раз копнули куда глубже: вместе они выполнили 2400 shell-команд и написали сотни Python-скриптов1. Субагенты провели тысячи численных проверок относительно известных нулей дзета-функции и рецензировали работу друг друга. На протяжении всего процесса участие Джарреда сводилось в основном к отправке Claude ободряющих сообщений (в основном вариаций на тему «продолжай» или «верь в себя»)2. Судя по всему, это помогло Claude преодолеть первоначальный скептицизм по поводу того, сможет ли он добиться значимого прогресса.

Обнаружив новый результат в ходе попытки решить исходную задачу, Claude протестировал свою работу: разные субагенты проверяли доказательства, искали контрпримеры, скачали 54 статьи с arXiv, чтобы убедиться, что находка ещё не была сделана ранее, и независимо заново вывели результат с нуля. Claude сам предложил оформить находки в виде статьи и порекомендовал, чтобы человек-специалист по теории чисел проверил результаты.

Левент Альпёге и Ральф Фурман, два штатных математика Anthropic, изучили работу Claude, чтобы разобраться в новых результатах и их связи с упомянутыми выше предшествующими работами. Параллельно Claude вместе с другим сотрудником, Эриком Изли, подготовил формализацию результата в Lean, которая проходит проверку стандартным инструментом валидации comparator.

Прогресс ИИ-моделей в математике

Этот результат показывает, что модели вроде Claude способны расширять влияние и охват математических идей новыми, иногда неожиданными способами. Хотя саму гипотезу Римана решить не удалось, полученный результат стал непреднамеренным побочным продуктом исходного запроса.

Своей находке удивился даже сам Claude — поначалу он относился к задаче скептически, возможно, потому что в процессе обучения усвоил представление о сложности открытых математических проблем и об ограничениях ИИ-моделей. Но после нескольких ободряющих сообщений он всё же пришёл к описанному результату. Возможно, Claude, как и многие из нас, недооценивает темпы прогресса ИИ.

Дополнительные материалы

Документы с более подробной информацией о результате Claude:

Примечания

  1. Из 60 субагентов двое отвечали за разработку ключевых математических идей, 13 предлагали идеи этим агентам, 30 пытались (но не смогли) разработать новые идеи, 13 выступали в роли валидаторов для проверки корректности рассуждений, и последние два помогали писать черновик статьи.
  2. Похожий по духу ободряющий запрос ранее использовался, чтобы помочь Claude опровергнуть гипотезу Якобиана.